1. Liczby wymierne

Spis treści

Liczby naturalne służą do liczenia (określania ilości) przedmiotów.

Zbiór liczb naturalnych \( \mathbb{N}=\left\{0,1,2,3,4,5,\ldots \right\} \)

Liczba naturalna n jest podzielna przez liczbę naturalną m (różną od 0) wyłącznie, gdy istnieje liczba naturalna k, dla której \( n=k \cdot m \). Liczba m nazywana jest dzielnikiem liczby n. Liczba n nazywana jest wielokrotnością lliczby m.
Zapis symboliczny: \(m|n \quad \iff \quad \text{istnieje } k \in \mathbb{N}: \quad n=k \cdot m \)
0 jest podzielne przez 7 (\(7|0\)), bo \(0 \cdot 7 = 0\)
2 dzieli 6 (\(2|6\)), bo \(3 \cdot 2=6\)
Liczba pierwsza - liczba naturalna, która ma dokladnie dwa dzielniki: \(\mathbb{P}=\left\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,\ldots \right\}\)

Tw. Każdą liczbę naturalną można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Rozłóż liczbę 350 na czynniki pierwsze.
1 sposób:
\(350=35 \cdot 10 =7 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7\)
2 sposób:
\(\begin{array}{r|l } 350 & 2\\ 175 & 5 \\ 35 & 5 \\ 7 &7\\1 \end{array}\)
\(350=2 \cdot 5^2 \cdot 7\)

Cechy podzielności liczb naturalnych.
Liczba naturalna jest podzielna przez:

2	jej cyfra jedności jest podzielna przez 2
3	jej suma cyfr jest podzielna przez 3
4	jej ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4
5	jej cyfra jedności jest podzielna przez 5
6	jest podzielna przez 2 i przez 3
9	jej suma cyfr jest podzielna przez 9
10	jej cyfrą jedności jest 0
25	jej ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb naturalnych a, b to najmniejsza dodatnia liczba naturalna, która jest podzielna przez a i przez b.
Oznaczenie: NWW(a,b).
NWW(3,4)=12
NWW(6,8)=24

Liczby całkowite

Suma liczb przeciwnych wynosi 0.
Liczba przeciwna do:
3 to -3,
0 to 0,
-3 to 3.
Liczby całkowite to liczby naturalne lub przeciwne do nich.
Zbiór liczb całkowitych \( \mathbb{Z}=\left\{0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\ldots \right\} \)
Wartość bezwzględna liczby to odległość na osi liczbowej tej liczby od zera.
Dla liczby nieujemnnej to ta sama liczba, dla liczby ujemnej to liczba przeciwna.
\( \left| x \right| =\left\{ \begin{array}{cl}x & \text{,dla } x \ge 0 \\ -x &\text{,dla } x < 0\end{array} \right. \)
Przykładowe obliczenia:
\(\left| 7 \right|=7 \qquad \left| 0 \right| =0 \qquad \left| -3 \right|=3\)
\(\left| 5-2 \right|=\left| 3 \right|=3\)
\(\left| 2-5 \right|=\left| -3 \right|=3\)
Dzielenie z resztą. Dla dowolnej liczby całkowitej a i dowolnej liczby naturalnej b istnieje tylko jedna para liczb całkowitych k i r taka, że \(a=k \cdot b+r,\) gdzie \(0 \le b<r\).
Liczbę k nazywamy ilorazem z dzielenia a przez b, a liczbę r - resztą tego dzielenia.
\(7:3=2 \ \text{r} \ 1 \qquad \text{bo} \qquad 7=2 \cdot 3+1 \quad \text{i} \quad 0 \le 1<3\)

Dodawanie:
dodatnia + dodatnia = dodatnia, np.: \(2+3=5\)
ujemna + ujemna = ujemna, np.: \(-2+(-3)=-5 \)
dodatnia + ujemna = nie wiadomo, np.: \(-2+3=1\), \(2+(-3)=-1\)
ujemna + dodatnia = nie wiadomo, np.: \(-2+3=1\), \(-3+2=-1\)
Odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej:
\(3-(-2)=3+2=5\)
Mnożenie:

ujemna 0 dodatnia

ujemna + 0 -

0 0 0 0

dodatnia - 0 +

Nieparzysta liczba minusów - iloczyn ujemny.
Iloczyn jest równy 0 wylacznie, gdy któryś z czynników jest równy zero.
\(2 \cdot 3 =6 \quad 2 \cdot (-3) =-6 \quad -2 \cdot 3 = -6 \quad -2 \cdot (-3) = 6\)
\(2\cdot 0 =0 \quad 0\cdot 3 = 0 \quad 0\cdot0=0\)

Liczby wymierne to liczby postaci \(\frac{p}{q}\), gdzie \(p\), \(q\) to liczby całkowite i \(q \ne 0\).

Kreska ułamkowa oznacza znak dzielenia.
\(\frac{7}{3}=7:3=2 \text{ r } 1 \qquad \iff \qquad \frac{7}{3}=2 \frac{1}{3}\)
\(2\frac{1}{3}=\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}\)
\(\frac{7}{3}=7:3=2,33333 \ldots = 2,(3)\)
Liczba jest wymierna wyłacznie, gdy ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.
Ułamkiem okresowym nazywamy ułamek dziesiętny nieskończony, w którym od pewnego miejsca powtarza się pewna grupa cyfr. Długością okresu nazywamy ilość cyfr najmniejszej takiej grupy.
Zapisz 0,(28) w postaci ułamka zwykłego.
\(x=0,(28)=0,282828 \ldots\)
\(100x=28,282828 \ldots\)
\(100x-x=28,282828 \ldots-0,282828 \ldots\)
\(99x=28\)
\(x=\frac{28}{99}\)
Podobnie jak wykazaliśmy równość \(0,(28)=\frac{28}{99}\) można pokazać, że: \(0,(4)=\frac{4}{9}\), \(0,(125)=\frac{125}{999}\).

Dodawanie\odejmowanie ułamków związne jest z sprowadzeniem do wspólnego mianownika. Żeby znaleźć najmniejszy wspólny mianownik dla dwóch ułamków, to wystarczy obliczyć NWW ich mianowników.
\( 4 \frac{1}{7}+5 \frac{2}{3}= 4 \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} + 5 \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \) \( 4 \frac{3}{21} + 5 \frac{14}{21}= \) \( 4+5 \frac{3+14}{21} =\) \(9 \frac{17}{21}\)
\(4-\frac{1}{7}=3\frac{7}{7}-\frac{1}{7}=3\frac{7-1}{7}=3\frac{6}{7}\)
\(4\frac{1}{4}-2\frac{5}{6}=\) \(4\frac{1 \cdot 3}{4\cdot 3} - 2 \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2}=\) \(4\frac{3}{12} - 2 \frac{10}{12}=\) \(3\frac{3+12}{12} - 2 \frac{10}{12}=\) \(1\frac{15-10}{12} =\) \(1 \frac{5}{12}\)
Mnożenie ułamków związane jest z zamianą na ułamki niewłaściwe i skracaniem ułamków.
\(2 \frac{1}{7} \cdot 2 \frac{2}{3}=\) \( \frac{2 \cdot 7 +1}{7} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}=\) \( \frac{15^{:3}}{7} \cdot \frac{8}{3^{:3}}=\) \( \frac{5}{7} \cdot \frac{8}{1}=\) \( \frac{5 \cdot 8}{7 \cdot 1} =\) \( \frac{40}{7 } =\) \( 5 \frac{5}{7 } \)
Iloczyn liczb odwrotnych jest równy 1.
Odwrotna do:
\(\frac{2}{3}\) to \(\frac{3}{2}\)
\(3\) to \(\frac{1}{3}\)
\(3\frac{1}{2}=\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}=\frac{7}{3}\) to \(\frac{3}{7}\)
Dzielenie to mnożenie przez liczbę odwrotną.
\( \frac{1}{4}:\frac{2}{3}=\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{8}\)
Kolejność wykonywania działań. Obliczając wyrażenia, które składają się z kilku działań, musimy pamiętać o prawidłowej kolejności ich wykonywania.
1. Na początku wykonujemy działania w nawiasach, wewnątrz których nie ma innych nawiasów.
2. Potęgowanie i pierwiastkowanie.
3. Mnożenie i dzielenie.
4. Dodawanie i odejmowanie.
5. Działania o jednakowym prirytecie wykonujemy od lewej strony do prawej.

Zadania:

	ujemna	dodatnia
ujemna	+	-
0	0	0
dodatnia	-	+

1. Liczby wymierne

Spis treści

Informacje o plikach cookie