Spis treści

Istotę procentu najlepiej oddają łacińskie słowa,od których to pojęcie wzięło nazwę: pro centum - na sto. Widząc symbol % czytamy podziel przez 100 (przesuń przecinek w rozwinięciu dziesiętnym o 2 cyfry w lewą stronę).

\( 1\% =1:100=0,\underleftarrow{01} \)
\( 132\% =132:100=1,\underleftarrow{32} \)
\( 2,7\% =2,7:100=0,\underleftarrow{02}7 \)

Musimy pamiętać, że procent to ułamek, część pewnej wartości. Przypomnijmy sobie operacje z ułamkami. Aby:

  • obliczyć ułamek z liczby trzeba pomnożyć ułamek przez liczbę, np.:
    \( \frac {1}{4} \text{ z }16 = \frac{1}{4} \cdot  16 =4 \)
    \( 0,2 \text{ z }4 = 0,2 \cdot 4 = 0,8 \)
  • znaleźć liczbę jeżeli znamy wartość jego ułamka, trzeba podzielić wartość przez ułamek, np.:
    \(0,2 \text{ liczby to } 4\text{, stąd: liczba }=4:0,2=20\)
    \( \frac {1}{3} \text{ liczby to } 4\text{, stąd: liczba }= 4:\frac{1}{3} = 12 \)

 Obliczenia procentowe:

obliczenia typu:    \(p \%  \text{ z } a = b\).

Możliwe przypadki:

  1. Szukamy b:
    Oblicz 5 % z 40. 
    \(0,05 \cdot 40=2\)
  2. Szukamy a:
    Znajdź liczbę, której 5% to 40.
    \(0,05\) liczby \(= 40\)
    liczba\(=40:0,05=800\)
  3. Szukamy p:
    Jakim procentem liczby 40 jest liczba 5?
    \(p \% \text{ z } 40=5\)
    \(\frac{p}{100} \cdot 40=5\)
    \(p =5:\frac{40}{100}=5 \cdot \frac{100}{40}\)
    \(p=12,5\)

Podwyżki, obniżki

Chcąc zwiększyć (zmniejszyć) liczbę o pewien procent dodajemy do (odejmujemy od) niej dany procent liczby.

  • Znajdź liczbę o 4% większą od 20.
    \(20+4 \% \text{ z } 20=20+0,04 \cdot 20=20+0,8=20,8\)
    Zauważmy, że: \(104 \% \text{ z } 20 =1,04 \cdot 20 = 20,8\)
    Zapamiętaj:
    Liczba o \(p\%\) większa od \(a\) to \((100+p)\) liczby \(a\),
    liczba o \(p\%\) mniejsza od \(a\) to \((100-p)\) liczby \(a\),
  • O le procent 60 jest większe od 40?
    \(40+p\% \text{ z } 40 =60\)
    \(\frac{p}{100} \cdot 40 =60-40\)
    \(p =20:\frac{40}{100}=20 \cdot \frac{100}{40}=50\)
  • O ile procent 40 jest mniejsze od 60? 
    \(60-p\% \text{ z } 60 =40\)
    \(\frac{p}{100} \cdot 60 =60-40\)
    \(p =20:\frac{60}{100}=20 \cdot \frac{100}{60}=\frac{100}{3}=33\frac{1}{3}\)
  • Po obniżeniu ceny produktu o 20% towar kosztuje teraz 48 zł. Ile kosztował przed przeceną?
    \((100-20)\% \ ceny =48\)
    \(cena=48:0,80=480:8=60\)
  • Cenę towaru podniesiono wpierw o 30%. Następnie nową cenę obniżono o 40%. Jak zmieniła się cena produktu?
    \(x \xrightarrow{+30\%} 1,30x\xrightarrow{-40\%}0,60 \cdot 1,30x=0,78 x\)
    \(x-0,78x=0,22x\)
    Odp.: Zmniejszono cenę o 22 %.

 Podatek VAT

Płacąc za towar lub usługę do ceny doliczany jest podatek VAT. Cena netto jest to cena bez podatku od towarów i usług (VAT). Doliczając do niej ten podatek otrzymujemy cenę brutto. Stawka VAT wskazuje o ile cena brutto jest większa od ceny netto. \[NET TO + VAT \% \text{ z } NETTO = BRUT TO \]

  • Rower kosztuje netto 1200 zł. Stawka VAT wynosi 23%. Jak będzie cena brutto roweru?
    \(BRUTTO=(100+VAT)\% \text{ z } NETTO\)
    \( BRUTTO=123 \% \text{ z } 1200=1,23\cdot 1200=1476\)
    Cena brutto wynosi 1476 zł.
  • Do ceny usługi doliczono 23% VAT. Jak jest cena netto usługi skoro cena brutto wynosi 492 zł?
    \( BRUTTO=(100+VAT)\% \text{ z } NETTO \)
    \( 492=123 \% \text{ z } NETTO \)
    \( NETTO=492:1,23=400 \)
    Cena netto wynosi 400 zł.
  • Na gazecie podano cenę netto 6,40 zł i cenę brutto 6,72 zł. Oblicz stawkę VAT.
    \(BRUTTO=NETTO+VAT\% \text{ z } NETTO\)
    \(6,72=6,40 + VAT \% \text{ z } 6,40\)
    \( VAT \% \text{ z } 6,40=6,72-6,40=0,32\)
    \( VAT =\frac{0,32}{6,40}\cdot 100 =5 \)
    Stawka VAT wynosi 5%.

 

Lokaty

Wpłacajac pieniądze do banku na pewien okres czasu liczymy, że po upływie tego czasu bank zwiększy stan naszego konta o pewną sumę pieniędzy, zwaną odsetkami. Odsetki zależą od wielkościwpłacanej kwoty i od oprocentowania danej lokaty.

Oprocentowanie lokaty jest zawsze podawane w skali roku. Przy lokatach wieloletnich po każdym roku do aktualnego stanu konta doliczane są odsetki.

Na lokatę, której oprocentowanie wynosi 6%, wpłacono 1000 zł. Oblicz, ile wyniosą odsetki po upływie terminu lokaty, jeżeli lokata jest:

  • roczna.
    \(6\% \text{ z } 1000 = 0,06 \cdot 1000 = 60\)
    Po roku bank dopisze odsteki w wysokości 60 zł.
  • półroczna.
    \(\frac{1}{2} \cdot 6\% \text{ z } 1000 = 0,03 \cdot 1000 = 30\)
    Po półroczu bank dopisze odsteki w wysokości 30 zł.
  • kwartalna.
    \(\frac{1}{4} \cdot 6\% \text{ z } 1000 = 0,015 \cdot 1000 = 15\)
    Po 3 miesiącach bank dopisze odsteki w wysokości 15 zł.
  • dwumiesięczna.
    \(\frac{2}{12} \cdot 6\% \text{ z } 1000 = 0,01 \cdot 1000 = 10\)
    Po 2 miesiącach bank dopisze odsteki w wysokości 10 zł.

 Zadania:

  1. Przykłady
    Procenty - liczby.

Autor: Szymon Kaźmierowski     facebook  Facebook      poczta  matma.dla.lo@gmail.com